Question

已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）1 ;（Ⅱ）参见解答 ;(Ⅲ)＞或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用函数 的导函数 来研究的单调性,进一步求极值. （Ⅱ）构造函数 通过导函数 来研究的单调性,（Ⅲ）注意运用第（Ⅱ）问产生的单调性结论来研究函数 在区间 上的增减性,判断函数值取得负值时 的取值范围,尤其注意在时不成立的证明,

试题解析：（Ⅰ）当 时，  ，定义域为，

，当时，；当时，.

所以单调减区间为；单调增区间为，

故时，有极小值，极小值为1.                                  3分

（Ⅱ），则

，                4分

因为所以令得.

若，即，则恒成立，则在上为增函数；

若，即，则时，，时，

所以此时单调减区间为；单调增区间为                   7分

(Ⅲ)由第（Ⅱ）问的解答可知只需在上存在一点，使得.

若时，只需,解得,又,所以满足条件. 8分

若,即时，同样可得,不满足条件.             9分

若，即时，在处取得最小值，            10分

令，

即，所以                         11分

设，考察式子,由,所以左端大于1,而右端小于1，所以不成立.

当，即时，在上单调递减，只需得

＞，又因为，所以，＞或    12分

考点：导数运算及运用导数研究函数的性质.