Question

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知

  （Ⅰ）求证：；

  （Ⅱ）在SB上选取点P，使SD//平面PAC ，并证明；

  （Ⅲ）求直线与面所成角的正弦值。

Answer

（1）（2）详见试题解析; 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及 是等腰三角形，利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系（Ⅱ）要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线，即平面 与平面交线 ， 注意到为中点的特点，即可导致∥，从而推出线面平行 （Ⅲ）建立空间直角坐标系，确定关键点的坐标，再运用空间向量进行运算.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接AC， ，

由余弦定理得，  2分

取中点，连接，则.

面       4分

（Ⅱ）当为的中点时，面

证明：连接 ，在中，∥  ，又 平面 ，

平面面， 平面.  7分

（3）如图，以射线OA为X轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,则．

，9分

设平面法向量为

有令 ，则，

   11分   

所以直线与面所成角的正弦值为12分

考点：线面平行与垂直,线面角，空间向量的应用