Question

（13分）已知圆C的方程为x²+（y﹣4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

Answer

（Ⅰ）（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（Ⅱ）n=（m∈（﹣，0）∪（0，））

【解析】（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），

根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，

则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；

（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），

∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，

代入=+得：=+，

即=+=，

由（*）得到x1+x2=，x1x2=，

代入得：=，即m2=，

∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，

由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），

根据题意得点Q在圆内，即n＞0，

∴n==，

则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．