Question

（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂﹣x₁≥1；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）（﹣ln2﹣1，+∞）

【解析】（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；

（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），

函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，

当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，

∴x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，

∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；

（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，

当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）；

当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；

两直线重合的充要条件是，

由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，

令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）

则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，

则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，

∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．