满分5 > 高中数学试题 >

(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)...

(14分)已知函数满分5 manfen5.com,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2

(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2﹣x1≥1;

(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.

 

(Ⅰ)函数f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1),函数f(x)的单调增区间[﹣1,0),(0,+∞) (Ⅱ)见解析 (Ⅲ)(﹣ln2﹣1,+∞) 【解析】(I)函数f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1),函数f(x)的单调增区间[﹣1,0),(0,+∞); (II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x1),点B处的切线的斜率为f′(x2), 函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有f′(x1)f′(x2)=﹣1, 当x<0时,(2x1+2)(2x2+2)=﹣1,∵x1<x2<0,∴2x1+2<0,2x2+2>0, ∴x2﹣x1=[﹣(2x1+2)+(2x2+2)]≥=1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,有x2﹣x1≥1; (III)当x1<x2<0,或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2, 当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y﹣(x+2x1+a)=(2x1+2)(x﹣x1); 当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y﹣lnx2=(x﹣x2); 两直线重合的充要条件是, 由①及x1<0<x2得0<<2,由①②得a=lnx2+()2﹣1=﹣ln+()2﹣1, 令t=,则0<t<2,且a=t2﹣t﹣lnt,设h(t)=t2﹣t﹣lnt,(0<t<2) 则h′(t)=t﹣1﹣=,∴h(t)在(0,2)为减函数, 则h(t)>h(2)=﹣ln2﹣1,∴a>﹣ln2﹣1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(﹣ln2﹣1,+∞).
复制答案
考点分析:
相关试题推荐

(13分)已知圆C的方程为x2+(y﹣4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.

(Ⅰ)求k的取值范围;

(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且满分5 manfen5.com.请将n表示为m的函数.

 

查看答案

(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.

满分5 manfen5.com

(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1﹣QC1D的体积.(锥体体积公式:满分5 manfen5.com,其中S为底面面积,h为高)

 

查看答案

(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计表(部分)                  

运行

次数n

输出y的值

为1的频数

输出y的值

为2的频数

输出y的值

为3的频数

30

14

6

10

2100

1027

376

697

乙的频数统计表(部分)

运行

次数n

输出y的值

为1的频数

输出y的值

为2的频数

输出y的值

为3的频数

30

12

11

7

2100

1051

696

353

当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

满分5 manfen5.com

 

查看答案

(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满分5 manfen5.com

(Ⅰ)求sinA的值;

(Ⅱ)若满分5 manfen5.com,b=5,求向量满分5 manfen5.com满分5 manfen5.com方向上的投影.

 

查看答案

(12分)在等比数列{an}中,a2﹣a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.

 

查看答案
试题属性

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.