Question

（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．

（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；

（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值．

Answer

（I）见解析（II）

【解析】（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC

∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

∴直线l∥平面A1BC，

∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l

∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA1⊥l

∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线

∴直线l⊥平面ADD1A1；

（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF

由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，

∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，

∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，

∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角

设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1

又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1

Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=

∴AE==，AF==

∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==

即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．