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(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=A...

(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.

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(I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1

(II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.

 

(I)见解析(II) 【解析】(I)在平面ABC内,过点P作直线l∥BC ∵直线l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC, ∴直线l∥平面A1BC, ∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l ∵AA1⊥平面ABC,l⊂平面ABC,∴AA1⊥l ∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线 ∴直线l⊥平面ADD1A1; (II)连接A1P,过点A作AE⊥A1P于E,过E点作EF⊥A1M于F,连接AF 由(I)知MN⊥平面A1AE,结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE, ∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P,AE⊥A1P,∴AE⊥平面A1MN, ∵EF⊥A1M,EF是AF在平面A1MN内的射影, ∴AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角 设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1 又∵P为AD的中点,∴M是AB的中点,得AP=,AM=1 Rt△A1AP中,A1P==;Rt△A1AM中,A1M= ∴AE==,AF== ∴Rt△AEF中,sin∠AFE==,可得cos∠AFE== 即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于.
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考点分析:
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(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生

(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i=1,2,3);

(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计图(部分)

运行次数n

输出y的值为1的频数

输出y的值为2的频数

输出y的值为3的频数

30

14

6

10

2100

1027

376

697

乙的频数统计图(部分)

运行次数n

输出y的值为1的频数

输出y的值为2的频数

输出y的值为3的频数

30

12

11

7

2100

1051

696

353

当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大;

(III)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.

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(12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别a、b、c,且满分5 manfen5.com

(1)求cosA的值;

(2)若满分5 manfen5.com,求向量满分5 manfen5.com满分5 manfen5.com方向上的投影.

 

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(12分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项,公差及前n项和.

 

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(5分)设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:

①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;

③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一;

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是    (写出所有真命题的序号).

 

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(5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是    

 

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