(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.
(I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.
(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生
(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i=1,2,3);
(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计图(部分)
运行次数n |
输出y的值为1的频数 |
输出y的值为2的频数 |
输出y的值为3的频数 |
30 |
14 |
6 |
10 |
… |
… |
… |
… |
2100 |
1027 |
376 |
697 |
乙的频数统计图(部分)
运行次数n |
输出y的值为1的频数 |
输出y的值为2的频数 |
输出y的值为3的频数 |
30 |
12 |
11 |
7 |
… |
… |
… |
… |
2100 |
1051 |
696 |
353 |
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大;
(III)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
(12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别a、b、c,且
(1)求cosA的值;
(2)若,求向量在方向上的投影.
(12分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项,公差及前n项和.
(5分)设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:
①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是 (写出所有真命题的序号).
(5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是 .