Question

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

Answer

（I）（II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）

【解析】（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．

∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=

∴椭圆的离心率e===…4分

（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）

（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣）

（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则

，，又|AQ|2=（1+k2）x2，

∴，即=…①

将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②

由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞

由②知x1+x2=，x1x2=，代入①中化简得x2=…③

因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18

由③及k2＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）

由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，

又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣）

所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分