Question

（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂．

（I）指出函数f（x）的单调区间；

（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值；

（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer

（I）f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增（II）1（III）（﹣1﹣ln2，+∞）

【解析】（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增；

当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．

（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，

∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），

∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，

∴，

∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．

∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，

∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．

∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．

（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．

当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为

，即．

当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．

函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，

由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，

由①②得=．

∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，

∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．

x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．

∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．