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(14分)已知函数满分5 manfen5.com,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2

(I)指出函数f(x)的单调区间;

(II)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;

(III)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.

 

(I)f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,0)上单调递增(II)1(III)(﹣1﹣ln2,+∞) 【解析】(I)当x<0时,f(x)=(x+1)2+a, ∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,0)上单调递增; 当x>0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)单调递增. (II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f′(x)=2x+2, ∴函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f′(x1),f′(x2), ∵函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直, ∴, ∴(2x1+2)(2x2+2)=﹣1. ∴2x1+2<0,2x2+2>0, ∴=1,当且仅当﹣(2x1+2)=2x2+2=1,即,时等号成立. ∴函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值为1. (III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴x1<0<x2. 当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1)),处的切线方程为 ,即. 当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为,即. 函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是, 由①及x1<0<x2可得﹣1<x1<0, 由①②得=. ∵函数,y=﹣ln(2x1+2)在区间(﹣1,0)上单调递减, ∴a(x1)=在(﹣1,0)上单调递减,且x1→﹣1时,ln(2x1+2)→﹣∞,即﹣ln(2x1+2)→+∞,也即a(x1)→+∞. x1→0,a(x1)→﹣1﹣ln2. ∴a的取值范围是(﹣1﹣ln2,+∞).
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(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计图(部分)

运行次数n

输出y的值为1的频数

输出y的值为2的频数

输出y的值为3的频数

30

14

6

10

2100

1027

376

697

乙的频数统计图(部分)

运行次数n

输出y的值为1的频数

输出y的值为2的频数

输出y的值为3的频数

30

12

11

7

2100

1051

696

353

当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大;

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