Question

已知函数．

(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证：．（，为自然对数的底数）

Answer

(1) 实数的取值范围为;(2) 的取值范围为;(3) 见解析.

【解析】

试题分析：(1)先利用导数求出函数在处取得唯一的极值，因为函数在区间上存在极值点，故；（2）根据条件可得，然后令，求出的最小值，即可解得的范围；（3）由（2）的结论可得，令，则有，分别令，则有

将这个不等式左右两边分别相加可得.

试题解析：（1）函数定义域为，，

由，当时，，当时，，

则在上单增，在上单减，函数在处取得唯一的极值。

由题意得，故所求实数的取值范围为     4分

 (2) 当时，不等式．       6分

令，由题意，在恒成立。

令，则，当且仅当时取等号。

所以在上单调递增，

因此，则在上单调递增，

所以，即实数的取值范围为                  9分

（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，

即，              11分

令，则有．

分别令，则有，

将这个不等式左右两边分别相加，则得

故，从而．      14分

考点：1.利用导数求函数的极值；2.利用函数单调性解参数范围；3.对数式的运算性质；4.不等式证明.