Question

已知函数().

（Ⅰ）当时，求函数的极值；   

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）明确函数的解析式，然后利用导数法研究函数的单调性，利用极值的定义确定函数的极值问题；（Ⅱ）利用等价转化思想，将原不等式恒成立转化为恒成立，然后分类讨论思想，即对的正负讨论和分离参数法，得到不同的不等式，进而利用均值不等式探求的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）当时，，

，                  2分

令，解得.  

当时，得或；当时，得.         4分

当变化时，，的变化情况如下表：

1

+

0

0

+

极大

极小

∴当时，函数有极大值，；             5分

当时，函数有极大值，，                 6分

（Ⅱ）∵，∴对，恒成立，即

对恒成立，                                          7分

①当时，有，即对恒成立，      9分

∵，当且仅当时等号成立，

∴，解得                               11分

②当时，有，即对恒成立，    12分

∵，当且仅当时等号成立，

∴，解得                               13分

③当时，.

综上得实数的取值范围为.                       14分

考点：1.函数的极值；2.不等式恒成立.