Question

如图，在三棱锥中，，，，设顶点A在底面上的射影为R．

（Ⅰ）求证: ；

（Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助几何体的中线面垂直，证明BCDE为正方形，达到证明线线垂直的目的；（Ⅱ）方法一利用定义法做出二面角，通过解三角形求解二面角的平面角；方法二建立利用空间向量法，通过两个半平面的法向量借助夹角公式求解.

试题解析：证明：方法一：由平面，得，

又，则平面，

故，                 3分

同理可得，则为矩形，

又，则为正方形，故．         5分

方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．

（Ⅱ）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角，            8分

由已知可得，则，故，则，

又，则，               10分

故，即二面角的余弦值为 12分

方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，

则，，，可得，       8分

则，，易知平面

的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得         10分

则，即二面角的余弦值为．     12分

考点：1.垂直关系的证明;2.二面角;3.空间向量.