Question

已知函数，.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）有极大值为;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先明确函数的定义域，然后利用求导的方法研究函数的单调性，进而确定函数的极值；（Ⅱ）利用转化思想将原不等式转化为在上恒成立，然后借助构造函数求解函数的最大值进而探求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为。                    1分

，令得                        3分

当为增函数.                       4分

当为减函数，                     5分

可知有极大值为                        6分

（Ⅱ）由于,所以不等式在区间上恒成立，即在上恒成立，

设

由（Ⅰ）知，在处取得最大值，∴              12分

【参考题】（Ⅲ）已知且，求证：.

∵，由上可知在上单调递增，

∴ ，即 ①，

 同理  ②

两式相加得，∴   

考点：1.函数的极值；2.不等式恒成立问题；3。导数的应用。