Question

甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意将第二局比赛结束时比赛停止的两种情况分析得到，然后利用互斥事件的概率公式求解; （Ⅱ）依题意知X的所有可能取值,然后利用独立事件的概率公式求解概率.

试题解析：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，      3分

解得或.又，所以.      5分

（Ⅱ）依题意知X的所有可能取值为2,4,6。    6分

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有

，

，

，    9分

则随机变量的分布列为

X

2

4

6

P

故.    12分

考点：1.互斥和独立事件的概率；2.分布列和期望.