Question

数列的前项和为，．

（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

（Ⅲ）若，，求不超过的最大的整数值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用递推式相减后，构造等比数列进行证明；（Ⅱ）利用错位相减法求解；（Ⅲ）借助第一问的结论，确定数列的通项公式，进而采用裂项相消法求解P，进而利用放缩求不超过的最大的整数值.

试题解析：（Ⅰ）因为，

所以 ① 当时，，则，            1分

② 当时，，        2分

所以，即，

所以，而，        3分

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．     4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

所以  ①，

②，     6分

②-①得：，     7分

.      9分

（Ⅲ）由(1)知         10分

，   12分

所以

，

故不超过的最大整数为．                 13分

考点：1.等比数列的证明；2.数列求和。