Question

已知椭圆：的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

 （Ⅰ）求椭圆的方程；

 （Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，

线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

 （Ⅲ）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用离心率和直线与圆相切得到两个等量关系，确定椭圆方程；（Ⅱ）利用定义法求解曲线方程；（Ⅲ）采用坐标法，将向量问题坐标化，进行有效的整理为，然后借助均值不等式进行求解范围.

试题解析：（Ⅰ）∵  

∵直线相切，

∴   ∴        3分

∵椭圆的方程是           6分

（Ⅱ）∵，

∴动点到定直线：的距离等于它到定点的距离，

∴动点的轨迹是为准线，为焦点的抛物线        6分

∴点的轨迹的方程为      9分

（Ⅲ），设、 

∴ 

∵，∴

∵，化简得          11分

∴

当且仅当即时等号成立       13分

∵，又

∴当即时，，故的取值范围是  14分

考点：1.椭圆方程；2.抛物线的定义；3.坐标法的应用.