Question

如图，A,B是椭圆的两个顶点, ，直线AB的斜率为．求椭圆的方程；（2）设直线平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D，

证明：的面积等于的面积．

Answer

（1）;（2）证明略.

【解析】

试题分析：（1）根据条件表示A、B两点，得到，，联立即可求出a,b；（2）先设出直线的方程，与椭圆联立，消y，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系得到，而，，由直线：，求，得，所以.

试题解析：（1）【解析】
依题意，，，，

整理得                          2分

解得 ，．                             3分

所以 椭圆的方程为．                        4分

（2）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，

整理得．    6分

设，．

所以     8分

证法一：记△的面积是，△的面积是．

由，，

则      10分

因为 ，所以 ， 13分

从而．                       14分

证法二：记△的面积是，△的面积是．

则线段的中点重合．       10分

因为 ，所以 ，．

故线段的中点为．                           

因为 ，，所以 线段的中点坐标亦为．  13分

从而．                     14分

考点：1.斜率公式；2.直线与曲线的位置关系；3.韦达定理.