Question

已知函数，，（1）若，求函数的极值；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）极大值为0，无极小值;（2）;（3）不存在.

【解析】

试题分析：（1）先求函数定义域，然后求导，判断单调性，根据单调性求极值；（2）因为函数在上单调递减，所以对恒成立，得到，下面只需求出

的最大值就行；（3）先假设存在，设出点得到，判断方程无根，所以不存在两点.

试题解析：（1）的定义域为                  1分

，                2分

故，单调递增；

，单调递减，       3分

时，取得极大值，无极小值。           4分

（2），，

若函数在上单调递减，

则对恒成立             5分

，只需      6分

时，，则，，   7分

故，的取值范围为             8分

（3）假设存在，不妨设，

         9分

                10分

由得，整理得   11分

令，， 12分，

∴在上单调递增，               13分

∴，故

∴不存在符合题意的两点。          14分.

考点：1.极值的求法；2.恒成立问题的求法；3.利用导数判断方程无解.