Question

如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值.

Answer

(1)  ;(2) .

【解析】

试题分析：（1）先建系写出各点坐标，求面ABC的法向量，然后求；（2）先求面EAB的法向量，再求，然后结合图形判断二面角E-AB-C的范围，得其余弦值的正负.

试题解析：(1)取的中点,连、

∵，则、∴面.过点O作于H，

则面,的长就是所要求的距离.

               3分

∵、,∴平面，则.

,在直角三角形中,有       6分

（另解:由知，）

(2)连结并延长交于,连结、.

∵面OAB，∴.又∵面ABC，∴，，

则就是所求二面角的平面角.                    9分 

作于,则

在直角三角形中,

在直角三角形中,     12分 

,故所求的正弦值是          14分 

方法二: (1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.

则有、、、  2分 

设平面的法向量为

则由知：；

由知：.取,  4分 

则点到面的距离为  6分 

(2)    8分

设平面的法向量为则由知:

由知:取           10分 

由(1)知平面的法向量为                11分 

则<>.          13分    

结合图形可知,二面角的正弦值是         14分   

考点：1.点到面的距离的求法；2.二面角的求法.