Question

在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．

Answer

(1)  ; (2) .

【解析】

试题分析：（1）设出焦点，由条件为等腰三角形，分析出，代入两点间距离公式，利用消去，得a、c的关系，得出e的值；（2）由得，，推出椭圆方程，由即，，得，得，与椭圆：联立得交点A，B的坐标，再表示，代入中，整理得点的轨迹方程.

试题解析：（1）设，

由题意,可得,即，              2分

整理得，得 (舍)或，所以.            4分 

（2）由（1）知，,可得椭圆方程为.

  直线方程为                            5分

两点的坐标满足方程组,消去y并整理得  6分

解得得方程组的解,           8分

不妨设,,设的坐标为

则,，                10分

由得.

于是,          11分

由得，

化简得，                        13分

将代入得，

由得.因此,点的轨迹方程是.   14分

考点：1.两点间距离公式；2.斜率公式.