Question

已知二次函数,且不等式的解集为.(1) 方程有两个相等的实根,求的解析式.(2) 的最小值不大于,求实数的取值范围.(3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.

Answer

(1) ;(2)   ;（3）当时有一个零点；当且时有2个零点.

【解析】

试题分析：(1)因为的解集为，所以-1和2是方程f(x)-2x=0的两个根，得到a、b、c之间的关系，又由于方程有两个相等的实根，所以利用判别式为0可以求出a、b、c的值，从而求出函数解析式.(2)因为函数图像是开口向上的抛物线，所以最小值在顶点处取得，所以得到顶点的纵坐标后，让纵坐标小于等于-3a就行了.(3)先判断方程是不是一元二次方程，如果是一元一次方程就直接求方程的根，如果是一元二次方程就需要讨论判别式，讨论方程是不是有根.

试题解析：∵的解集为,   

∴的解集为,                 1分

∴,且方程的两根为  

即，∴   2分

（1）∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根

∴,

∴或      3分

∵,∴,   ∴                4分

（2）

∵,∴的最小值为,               5分

则,,解得,       7分

∵,∴                       8分

（3）由,得   (※)

①当时,方程(※) 有一解,

函数有一零点；         9分

②当时,

方程(※)有一解,   令

得或, ∵即，

 i)当，时，

（（负根舍去）），

函数有一零点.        10分

ii) 当时，的两根都为正数，

当或时，

函数有一零点.        11分

ⅲ) 当时，，∴

③方程(※)有二解,

ⅰ）若,，时,

（（负根舍去）），函数

有两个零点；  12分

ⅱ）当时，，的两根都为正数，

当或时，

函数有两个零点. 13分

ⅲ) 当时，，∴恒成立，

∴取大于0()的任意数，

函数有两个零点              14分

考点：1.函数解析式的求法；2.二次函数最小值的求法；3.分式不等式的解法；4.含参方程的解法.