Question

如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．

（1）求证:平面平面；

（2）若,求四棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由得：平面，进而证得面面垂直；（2）法1：做出底面的垂线，证明线面垂直，再利用体积公式；法2：分割法转化成两个三棱锥的体积之和，再利用转换顶点的求三棱锥的体积，再相加求四棱锥的体积（省去找底面的垂线）

试题解析：（1）证明： 在中,由余弦定理得：，

所以,所以,即，              3分

又四边形为平行四边形,所以，

又底面,底面,所以，              4分

又,所以平面,               5分

又平面,所以平面平面．              6分

（2）法一：连结，∵，∴

∵平面，所以，           8分

所以四边形的面积，    10分

取的中点，连结，则，且，

又平面平面,平面平面，

所以平面，              13分

所以四棱锥的体积：

．               14分

法二: 四棱锥的体积，     8分

而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等，     10分

所以．          14分

考点：1.面面垂直；2.线面垂直；3等体积法求锥体的体积