Question

已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer

(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：(1)由抛物线的焦点求的双曲线的焦点坐标，再由求得点坐标，再结合双曲线的定义可得双曲线的方程；（2）首先利用直线与圆相切求得圆，再利用弦长公式求弦长，化简求值即可，需注意直线的形式，有无斜率需考虑.

试题解析：（1）∵抛物线的焦点为，

∴双曲线的焦点为、，                  1分

设在抛物线上，且，

由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，          3分

∴，                  4分

又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：

，∴， ∴双曲线的方程为：．            6分

（2）为定值．下面给出说明．

设圆的方程为：， ∵圆与直线相切，

∴圆的半径为，故圆：．             7分

显然当直线的斜率不存在时不符合题意，                  8分

设的方程为，即，

设的方程为，即，

∴点到直线的距离为，

点到直线的距离为，                  10分

∴直线被圆截得的弦长，           11分

直线被圆截得的弦长，           12分

∴， 故为定值．              14分

考点：1.圆锥曲线的定义；2.直线与圆的方程；3.直线与圆的位置关系.