Question

已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率．

（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；

（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）在函数定义域范围内求函数的极值，则极值点在内；（2）首先根据条件分离出变量，由转化成求的最小值（利用二次求导判单调性）；（3）结合第（2）问构造出含

的不等关系，利用裂项相消法进行化简求和.

试题解析：（1）由题意，               1分

所以                    2分

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值．                       3分

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以，得．即实数的取值范围是．         4分

（2）由得，令，

则．                            6分

令，则，

因为所以,故在上单调递增．        7分

所以,从而

在上单调递增,

所以实数的取值范围是．                     9分

（3）由(2) 知恒成立,

即          11分

令则，        12分

所以， ，  ,．

将以上个式子相加得：

，

故．                14分

考点：1.函数极值、最值的求法；2.函数单调性的判定；3.恒成立问题的转化.