Question

已知几何体A—BCED的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在点Q，使得AQBQ.

【解析】

试题分析：（1）由三视图还原几何体为一个锥体，利用锥体体积公式求解；（2）法1：化空间角为平面角，在一个三角形内求值；法2：建立空间直角坐标系求解；（3）法1：假设存在，通过构造面面垂直来实现AQBQ；法2：建立空间直角坐标系，转化为两对应向量数量积为零，求出点Q的坐标.

试题解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴．

即该几何体的体积V为．                 3分

（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．    5分

在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．

∴．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．                  7分

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，∴ 

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.                     8分

取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.

连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵    ∴∽    

∵  ∴  

∴．                                               11分

∵,

∴

∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q

∴

∵面,面  ∴ ∴面       13分

∵面ACQ

∴．                                                14分

解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则

，

∵AQBQ    ∴               ①

 ∵点Q在ED上，∴存在使得

∴      ②

②代入①得，解得

∴满足题设的点Q存在，其坐标为．

考点：1.三视图；2.锥体的体积；3.异面直线所成角；4探究性问题证明线线垂直；5.利用空间向量解决几何问题.