Question

（Ⅰ）已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数.

(Ⅰ) 当时，求函数的不动点；

(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ)函数的不动点为 。

（Ⅱ） 

（Ⅲ）实数的取值范围.

【解析】

试题分析：

思路分析：(Ⅰ) 解方程确定函数的不动点为 。

（Ⅱ）由题意，得到方程恒有两个不相等的实数根，

根据判别式，解得  。

（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为得到,，

且是的两个不等实根， 得到

直至中点坐标为。根据

，且在直线上得到a,b的关系。

【解析】
(Ⅰ) 当时，，

解，得。

所以函数的不动点为 。

（Ⅱ）因为 对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，

所以，对于任意实数，方程恒有两个不相等的实数根，

即方程恒有两个不相等的实数根，

所以  ，

即  对于任意实数，，

所以   ，解得   

（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为，则,

且是的两个不等实根， 所以

直线的斜率为1，线段中点坐标为

因为 直线是线段的垂直平分线，

所以 ，且在直线上

则        

所以  当且仅当时等号成立

又      所以 实数的取值范围.

考点：新定义问题，均值定理的应用，一元二次方程根的研究。