Question

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

Answer

当λ=1时，方程化为x= ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（，0）；

当λ≠1时，方程化为它表示圆，圆心的坐标为（），半径为。

【解析】

试题分析：

思路分析：利用“直接法”求得（λ2-1）（x2+y2）-4λ2x+（1+4λ2）=0．

讨论λ=1和λ≠1的两种情况。

当λ=1时，方程化为x= ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于

点（，0）；

当λ≠1时，方程化为它表示圆，圆心的坐标为（），半径为。

【解析】
设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ＞0．因为圆的半径|ON|=1，

所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1．

设点M的坐标为（x，y），则，

整理得（λ2-1）（x2+y2）-4λ2x+（1+4λ2）=0．

经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方程．

当λ=1时，方程化为x= ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于

点（，0）；

当λ≠1时，方程化为它表示圆，圆心的坐标为（），半径为。

考点：求轨迹方程