Question

如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（Ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；

（Ⅱ）求线段的长的最小值；

（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）随点运动而变化，故设点表示，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点的位置由直线，生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出，它必是的函数，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐标求出圆的方程，方程必含有参数，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.

试题解析：（Ⅰ），令，则由题设可知，

∴直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，

所以，（），从而有.

（Ⅱ）由题设可以得到直线的方程为，

直线的方程为，

由，   由，

直线与直线的交点，直线与直线的交点.

  又，

等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.

（Ⅲ）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有

，又，所以以为直径的圆的方程为

，令解得，

以为直径的圆是否经过定点和.

考点：直线的交点，圆的方程，圆过定点问题，基本不等式的应用.