Question

数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如：当时，，，；当时，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想，并用数学归纳法证明．

Answer

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过列举进行计算；（Ⅱ）先从特殊入手，

当时，，，；

当时，，，，所以；

从特殊到一般探求与之间的递推关系，从而便于用数学归纳法证明.

试题解析：（Ⅰ）当时，，，，所以；

（Ⅱ）由，，

猜想，下面证明：

（1）易知时成立；

（2）假设时，

则时，

（其中，为时可能的个数的乘积的和为），

即时也成立，

综合（1）（2）知对，成立．

所以．

考点：归纳推理、数学归纳法.