Question

如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，为上一点，，．

（I）若为的中点，求证平面；

（II）求三棱锥的体积．

Answer

（I）详见解析；（II）三棱锥的体积为.

【解析】

试题分析：（I）要证线面平行，先构造面外线平行于面内线；（II）求三棱锥的体积关键是选择适当的底面，以便于求高为标准，为此要先考察线面垂直.

试题解析：（I）若为的中点， 为上一点，，故，都是线段的三等分点．

设与的交点为，由于底面为矩形，则是的中位线，故有，而平面，平面内，故平面．

（II）由于侧棱底面，且为矩形，故有，，，故平面，又因为，，所以三棱锥的体积．

考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、三棱锥的体积公式.