Question

已知是实数，函数，和，分别是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．

（Ⅰ）设，若函数和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由不等式恒成立，即可求出结果. （Ⅱ）在以为端点的开区间上恒成立，对的大小分类讨论，以确定的取值范围，从而去确定的最大值.

试题解析：由已知，，，；

（Ⅰ）由题设“单调性一致”定义知，在区间上恒成立，

即 在区间上恒成立，

因，所以，所以，在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，而在上最大值

所以，，即；

（Ⅱ）由“单调性一致”定义知，在以为端点的开区间上恒成立，

即在以为端点的开区间上恒成立，

因，所以，由，得，，；

①若，则开区间为，取，由知，和在区间上单调性不一致，不符合题设；

②若，因均为非负，故不在以为端点的开区间内；所以，只有可能在区间上；

由在以为端点的区间上恒成立，知要么不小于中的大者，要么不大于中的小者；

因为都不大于0，所以，，所以，由知，所以；

当时，由在区间上恒成立，即在区间上恒成立，知最大值为，而由解得；

此时，，配方后知，取不到最大值；

当时，显然，此时，当，即时，取得最大值；综上，的最大值为.

考点：不等式恒成立、函数的最值、分类讨论的思想.