Question

如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，直线与平面所成的角为，求长．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直，可先考虑纯线面垂直，要证线面垂直，先找出图中的线线垂直，使结论得证；（Ⅱ）为方便利用直线与平面所成的角为，可建立空间直角坐标系，利用空间向量相关计算公式建立关于长度的方程，解之即可.

试题解析：（Ⅰ），，，平面，

又，；

（Ⅱ），

分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）

设，则，，，

可得 ，

设平面的法向量，，令，可得，因此是平面的一个法向量，，与平面所成的角为，，即，

解之得：，或（舍），因此可得的长为．

考点：直线与平面的位置关系、空间向量的应用.