Question

如图所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点．

(1)求证：B₁C∥平面AC₁M；

(2)求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

Answer

 (1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.

连结A1C，设A1C∩AC1＝O，连结MO，

由题意可知，得到MO∥B1C，进一步得到B1C∥平面AC1M.

(2)利用已知得到C1M⊥A1B1，

根据平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，

得到C1M⊥平面AA1B1B，达到证明目的：平面AC1M⊥平面AA1B1B.

【解析】

试题分析：

思路分析：首先，由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形。（1）小题，为证明B1C∥平面AC1M，只需证明B1C平行于平面AC1M内的任一直线，发现、构造这样的一条直线是关键。通过连结A1C，并设A1C∩AC1＝O，则MO即为这样的直线。

（2）小题，为证明“面面垂直”，须注明“线面垂直”。由等腰三角形底边的中线，发现垂直关系。

证明：(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.

连结A1C，设A1C∩AC1＝O，连结MO，

由题意可知，A1O＝CO，A1M＝B1M，

∴MO∥B1C，

又MO⊂平面AC1M，

B1C⊄平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M.

(2)∵A1C1＝B1C1，M为A1B1的中点，

∴C1M⊥A1B1，

又平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，

平面A1B1C1∩平面AA1B1B＝A1B1，

∴C1M⊥平面AA1B1B，又，所以，平面AC1M⊥平面AA1B1B.

考点：三视图，三棱柱的几何特征，平行关系，垂直关系。