Question

曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.

(1)求曲线C的方程；

(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且⊥，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.

Answer

（1）y=2x2；

（2）M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。所求的定点为，定直线方程为y=.

【解析】

试题分析：

思路分析：（1）曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.所以，由抛物线的定义，其方程为，而，所以，y=2x2；

（2）利用“参数法” 得到y=4x2+4x+，根据图象的平移变换得到结论：定点为，定直线方程为y=.

【解析】
（1）因为，利用抛物线的定义，确定得到y=2x2；

（2）设：y-2=k(x-1)(k≠0)  :y=2=

由得2x2-kx+k-2=0

同理得B点坐标为

∴

消去k得：y=4x2+4x+ ………9分

M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为，此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为(0，)，准线为y=-.∴所求的定点为，定直线方程为y=.

考点：抛物线方程，直线与抛物线的位置关系。