Question

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（Ⅰ）设，试求函数的表达式；

（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）函数的表达式为．

（Ⅱ）存在，使得点、与三点共线，且 ．

（Ⅲ）的最大值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

 ，

 ∴切线的方程为：，

又切线过点，

有，即，  （1）

同理，由切线也过点，得．（2）

由（1）、（2），可得是方程的两根，

  （ * ）

，

把（ * ）式代入,得,

因此，函数的表达式为．

（Ⅱ）当点、与共线时，，

＝，即＝，

化简，得，

，．    （3）

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且 ．

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，

，

即对一切的正整数恒成立．

，

，

．

由于为正整数，．

又当时，存在，，对所有的满足条件．

因此，的最大值为．

解法：依题意，当区间的长度最小时，

得到的最大值，即是所求值．

，长度最小的区间为

当时，与解法相同分析，得，

解得．            后面解题步骤与解法相同（略）．

考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极（最）值，不等式恒成立问题。