Question

已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.

①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；

②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.

Answer

（Ⅰ），

方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.

（Ⅱ）当时，曲线的方程是，曲线表示圆，圆心是，半径是.

①.

②动直线与定圆相切.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设动点的坐标为，则由，得，

整理得: .

   ，

当时，则方程可化为：，故方程表示的曲线是线段的垂直平分线；

当时，则方程可化为，

即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.          5分

（Ⅱ）当时，曲线的方程是，

故曲线表示圆，圆心是，半径是.

①由，及有：

两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有: ,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作圆的直径，得，，故，.          9分

②设点到直线的距离为，，

则由面积相等得到，且圆的半径. 

即于是顶点 到动直线的距离为定值，

即动直线与定圆相切.

考点：圆的方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。