Question

已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x.

(1)求f(x)；

(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）f(x)＝x2－x＋1

（2）f(x)的最小值是f＝，f(x)的最大值是f(－1)＝3.

【解析】

试题分析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1可知c＝1.

而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b.

由已知f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.因而a＝1，b＝－1.

故f(x)＝x2－x＋1.

(2)∵f(x)＝x2－x＋1＝2＋，

又∈[－1,1]．

∴当x∈[－1,1]时f(x)的最小值是f＝，

f(x)的最大值是f(－1)＝3.

考点：函数的最值