Question

已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) (2) (3)

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以 ，即．因为为整数，故．

故所求圆的方程为．              4分

（Ⅱ）把直线，即代入圆的方程，消去整理，得

由于直线交圆于A、B两点，故

即，由于，解得

所以实数的取值范围

（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为

的方程为，即

由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，

所以，解得。由于，故存在实数 

使得过点的直线垂直平分弦AB         14分

考点：直线与圆的位置关系

点评:解决的关键是利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式得到圆的方程，编辑和图像有交点，结合方程有实数根来得到，，属于基础题。