Question

（本小题满分14分）

已知函数，，其中．

（1）若函数是偶函数，求函数在区间上的最小值；

（2）用函数的单调性的定义证明：当时，在区间上为减函数；

（3）当，函数的图象恒在函数图象上方，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数在区间上的最小值为

（2）设任意，且，则利用作差法，结合变形，定号，下结论得到证明，注意变形化到最简即可。

（3）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）函数是偶函数，，

即函数的图象是顶点为，对称轴为且开口向下的抛物线，

在区间上递增，在区间上递减

又

 函数在区间上的最小值为．

（2）设任意，且，则

又

当时，函数在区间上为减函数.

（3）对于，函数的图象恒在函数图象上方，等价不等式

＞在上恒成立，

即在上恒成立，

，解得 

所求实数的取值范围为 

考点：函数单调性和不等式