Question

已知函数f（x）＝log₂（x＋m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列．

（1）求实数m的值；

（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）m＝2．（2）f（a）＋f(c)＞2(b)．

【解析】

试题分析：（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列，

可得2log2（2＋m）＝log2m＋log2（6＋m），  3分

即（m＋2）2＝m（m＋6），且m＞0，解得m＝2．   5分

（2）由f（x）＝log2（x＋2），

可得2f(b)＝2log2（b＋2）＝log2（b＋2）2，    6分

f（a）＋f(c)＝log2（a＋2）＋log2（c＋2）＝log2［（a＋2）（c＋2）］， 7分

∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac． 8分

又a、b、c是两两不相等的正数，

故（a＋2）（c＋2）－（b＋2）2

＝ac＋2（a＋c）＋4－（b2＋4b＋4）   10分

＝2（a＋c－2）＝2＞0，    12分

∴log2［（a＋2）（c＋2）］＞log2（b＋2）2． 13分

即f（a）＋f(c)＞2(b)

考点：本题考查了数列与函数的综合运用