Question

已知函数f(x)＝lg(a^x－b^x)(a>1>b>0)．

(1)求y＝f(x)的定义域；

(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；

(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

Answer

(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)．

(2)函数y＝f(x)的图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴．

(3)当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

【解析】

试题分析：(1)由ax－bx>0得（）x>1，

∵a>1>b>0，∴>1，∴x>0.

∴f(x)的定义域是(0，＋∞)．

(2)任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1>x2，

∵a>1>b>0，∴ax1>ax2>1，bx1ax2－bx2>0

∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)

故f(x1)>f(x2)

∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

假设y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使过A、B两点的直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴．

(3)∵f(x)是增函数，∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．

这样只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，

∴a－b≥1.

即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

考点：对数函数的性质，函数的单调性，函数的图象，不等式恒成立问题。