Question

设数列的前项和为，且方程有一个根为，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设方程的另一个根为，数列的前项和为，求的值；

（3）是否存在不同的正整数，使得，，成等比数列，若存在，求出满足条件的，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用等差数列的定义证明即可，（2），（3）存在不同的正整数，使得，，成等比数列

【解析】

试题分析：（1）∵是方程的根，

∴

当时，，∴，

解得，∴                       2分

当时，，∴

化简得,∴，∴，

∴，又                  5分

∴数列是以为首项，为公差的等差数列         6分

（2）由（1）得，

∴，带入方程得，，∴,

∴原方程为，∴，∴     8分

∴                ①

          ②

① — ②得

   11分

,∴                          12分

（3）由（1）得，，假设存在不同的正整数，使得，，成等比数列，则

即,∵               14分

∴,化简得，

∴,又∵，且

∴∴，∴                   16分

∴存在不同的正整数，使得，，成等比数列

考点：本题考查了数列的通项与求和