Question

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Answer

【解析】

试题分析：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（-1,0） 

当k＞0时，lgkx=2lg（x+1），∴lgkx-2lg（x+1）=0

∴lgkx-lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解

∴x2-（k-2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解

令f（x）=x2-（k-2）x+1，

又当x=0时，f（x）=x2-（k-2）x+1=1＞0

∴△=（k-2）2-4="0," ∴k-2="±2," ∴k=0舍，或4

k=0时lgkx无意义，舍去 , ∴k=4

当k＜0时，函数定义域是（-1，0）

函数y=kx是一个递减过（-1，-k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（-1，0）递增且过两点（-1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意，

综上

考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．