Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂＋a₃＋a₄＝28，且a₃＋2是a₂，a₄的等差中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求使S_n＋n·2^n＋1＞50成立的正整数n的最小值．

Answer

（1）an＝2n.  （2）n的最小值为5.

【解析】

试题分析：(1)解 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，∴a2＋a4＝20，所以解之得或又∵数列{an}单调递增，所以q＝2，a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)因为bn＝2nlog2n＝－n·2n，所以Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1]，两式相减，得

Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1.要使Sn＋n·2n＋1＞50，即2n＋1－2＞50，即2n＋1≥52.

易知：当n≤4时，2n＋1≤25＝32＜52；当n≥5时，2n＋1≥26＝64＞52.故使Sn＋n·2n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.

考点：等比数列的通项公式