Question

已知函数f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
（II）设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₃是f（x）的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．
证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后的等差数列，并求x₄．

Answer

（1）将a，b的值代入后对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率，可得答案．
（2）对函数f（x）求导，令导函数等于0解出x的值，然后根据x3是f（x）的一个零点可得到x3=b，然后根据等差数列的性质可得到答案．
（Ⅰ）【解析】
当a=1，b=2时，
因为f′（x）=（x-1）（3x-5）
故f′（2）=1
f（2）=0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y=x-2；
（Ⅱ）证明：因为f′（x）=3（x-a）（x-），
由于a＜b．
故a＜．
所以f（x）的两个极值点为x=a，x=．不妨设x1=a，x2=，
因为x3≠x1，x3≠x2，
且x3是f（x）的零点，故x3=b．
又因为-a=2（b-），
x4=（a+）=，
所以a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4=．