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如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x=12. (...

如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x=12.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1
证明:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网为定值,并求此定值.

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(I)设椭圆方程为,由题意知a=6,,故所求椭圆方程为. (II)记椭圆的右顶点为A,并设∠AFPi=αi(i=1,2,3),假设,且, 又设点Pi在l上的射影为Qi,因椭圆的离心率,从而有|FPi|=|PiQi|•e==(i=1,2,3).由此入手能够推导出++为定值,并能求出此定值. 【解析】 (I)设椭圆方程为 因焦点为F(3,0),故半焦距c=3 又右准线l的方程为,从而由已知, 因此a=6, 故所求椭圆方程为 (II)记椭圆的右顶点为A,并设∠AFPi=αi(i=1,2,3),不失一般性, 假设,且, 又设点Pi在l上的射影为Qi,因椭圆的离心率,从而有|FPi|=|PiQi|•e==(i=1,2,3) 解得=(i=1,2,3) 因此++=, 而=, 故++为定值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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