Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为1，则点B₁到平面ABC₁的距离为     ．

Answer

在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D，则平面ABC1⊥平面C1CM，所以CD⊥平面C1AB，故CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，利用等面积法即可求出CD的长度．
【解析】
如图所示，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D
∵C1A=C1B，M为AB中点，
∴C1M⊥AB
∵CA=CB，M为AB中点，
∴CM⊥AB
又∵C1M∩CM=M，
∴AB⊥平面C1CM
又∵AB⊂平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM=C1M，CD⊥C1M，
∴CD⊥平面C1AB，
∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离
在Rt△C1CM中，C1C=1，CM=，C1M=
∴CD=，即点B1到平面ABC1的距离为
故答案为：