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在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(...

在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在常数k,使得向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)先把圆的方程整理成标准方程,进而求得圆心,设出直线方程代入圆方程整理后,根据判别式大于0求得k 的范围, (Ⅱ)A(x1,y1),B(x2,y2),根据(1)中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式,根据直线方程可求得y1+y2的表达式,进而根据以与共线可推知(x1+x2)=6(y1+y2),进而求得k,根据(1)k的范围可知,k不符合题意. 【解析】 (Ⅰ)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0),过P(0,2) 且斜率为k的直线方程为y=kx+2. 代入圆方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0. ① 直线与圆交于两个不同的点A,B等价于△=[4(k-3)2]-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 解得,即k的取值范围为. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则, 由方程①,② 又y1+y2=k(x1+x2)+4. ③ 而. 所以与共线等价于(x1+x2)=3(y1+y2), 将②③代入上式,解得. 由(Ⅰ)知,故没有符合题意的常数k.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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