Question

已知函数f（x）=，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，，且a＞0，d＞0．设x为f（x）的极小值点，在[1-]上，f′（x）在x₁处取得最大值，在x₂处取得最小值，将点（x，f（x）），（x₁，f′（x₁）），（x₂，f′（x₂，f（x₂））依次记为A，B，C．
（I）求x的值；
（II）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a，d的值．

Answer

（I）先对函数f（x）进行求导，把2b=a+c代入整理．令f‘（x）=0得x=-1或x=-，故可根据-＜x＜-1和x＞-1时f‘（x）于0的关系，判断函数f（x）的单调性，进而求出函数f（x）的最小值时x的值．
（2）先求出导函数的对称轴，根据对称轴的范围确定导函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值，从而确定A，B，C的坐标，再由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，得到a与d的关系，再由三角形ABC的面积为2+和b=a+d，c=a+2d得到d的方程，最后求出a，d的值．
【解析】
（I）【解析】
∵2b=a+c
∴f'（x）=ax2+2bx+x=ax2+（a+c）x+c=（x+1）（ax+c）
令f'（x）=0，得x=-1或x=-
∵a＞0，d＞0
∴0＜a＜b＜c
∴＞1，-＜-1
当-＜x＜-1时，f‘（x）＜0，
当x＞-1时，时，f‘（x）＞0，
所以f（x）在x=-1处取得最小值即x=-1
（II）∵f'（x）=ax2+2bx+x（a＞0）
∴函数f'（x）的图象的开口向上，对称轴方程为x=-
由-＞1知|（1-）-（-）|＜|0-（-）|
∴f'（x）在[1-，0]上的最大值为f'（0）=c，即x1=0．
又由＞1，知-∈[1-，0]
∴当x=-时，
f‘（x）取得最小值为f‘（-）=，即x2=-
∵f（x）=f（-1）=-
∴A（-1，-），B（0，c），C（-，-）
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，
所以-=，即a2=3d①
又由三角形ABC的面积为2+得（-1+）•（c+）=2+
利用b=a+d，c=a+2d，得d+=2+②
联立①②可得d=3，a=3．