Question

已知f（x）=xⁿ，其中k≤n（n，k∈N₊），设F（x）=C_nf（x²）+C_n¹f₁（x²）+-+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]．
（1）写出f_k（1）；
（2）证明：对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-n-1．

Answer

（1）把x=1代入即得；
（2）第一种方法：利用函数的增减性和奇偶性，根据已知设F（x）=Cnf（x2）+Cn1f1（x2）+-+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]得到F′（x）＞0，所以F（x）在[0，1]上为增函数因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在[-1，0]上为减函数，求出F（!）-F（0）得到结论即可；
第二种方法：前面和第一问方法一样，最后处理F（!）-F（0）方法不一样得到结论即可；第三种方法：利用导数处理F（!）-F（0）最后得证即可．
【解析】
（1）由已知推得fk（x）=（n-k+1）xn-k，从而有fk（1）=n-k+1
（2）证法1：当-1≤x≤1 时，F（x）=x2n+ncn1x2（n-1）+（n-1）cn2x2（n-2）+…+（n-k+1）cnkx2（n-k）+…+2cnn-1x2+1
当x＞0时，F′（x）＞0
所以F（x）在[0，1]上为增函数
因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在[-1，0]上为减函数
所以对任意的x1，x2∈[-1，1]，|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0）
F（1）-F（0）=Cn+ncn1+（n-1）cn2+…+（n-k+1）cnk+…+2cnn-1=ncnn-1+（n-1）cnn-2+…+（n-k+1）cnn-k+…+2cn1+cn
∵（n-k+1）cnn-k=（n-k）cnn-k+cnk=ncn-1k+cnk（k=1，2，3，…，n-1）
F（!）-F（0）=n（cn-11+cn-12+..+cn-1k-1）+（cn1+cn2+…+cnn-1）+cn
=n（2n-1-1）+2n-1=2n-1（n+2）-n-1
因此结论成立．
证法2：当-1≤x≤1 时，F（x）=x2n+ncn1x2（n-1）+（n-1）cn2x2（n-2）+…+（n-k+1）cnkx2（n-k）+…+2cnn-1x2+1
当x＞0时，F′（x）＞0
所以 F（x）在[0，1]上为增函数
因函数 F（x）为偶函数
所以 F（x）在[-1，0]上为减函数
所以对任意的x1，x2∈[-1，1]，|F（x1）-F（x2）|≤F（!）-F（0）
F（!）-F（0）=cn+ncn1+（n-1）cn2+…+（n-k+1）cnk+…+2cnn-1
又因F（1）-F（0）=2cn1+3cn2+…+kcnk-1+…+ncnn-1+cn
所以2[F（1）-F（0）]=（n+2）[cn1+cn2+…+cnk-1+…+cnn-1]+2cn
F（1）-F（0）=[cn1+cn2+…+cnk-1+…+cnn-1]+cn=
因此结论成立．
证法3：当-1≤x≤1时，F（x）=x2n+ncn1x2（n-1）+（n-1）cn2x2（n-2）+…+（n-k+1）cnkx2（n-k）+…+2cnn-1x2+1
当x＞0时，F′（x）＞0
所以F（x）在[0，1]上为增函数
因函数F（x）为偶函数
所以F（x）在[-1，0]上为减函数
所以对任意的x1，x2∈[-1，1]，|F（x1）-F（x2）|≤F（!）-F（0）
F（!）-F（0）=cn+ncn1+（n-1）cn2+…+（n-k+1）cnk+…+2cnn-1
由x[（1+x）n-xn]=x[cn1xn-1+cn2xn-2+…+cnkxn-k+…+cnn-1+1]=cn1xn+cn2xn-1+…+cnkxn-k+1+…+cnn-1x2+x
对上式两边求导得（1+x）n-xn+nx（1+x）n-1-nxn=ncn1xn-1+（n-1）cn2xn-2+…+（n-k+1）cnkxn-k+…+2cnn-1x+1
F（x）=（1+x2）n+nx2（1+x2）n-1-nx2n
∴F（1）-F（0）=2n+n2n-1-n-1=（n+2）2n-1-n-1．
因此结论成立．