Question

已知两个椭圆的方程分别是
C₁：x²+9y²-45=0，
C₂：x²+9y²-6x-27=0、
（1）求这两个椭圆的中心、焦点的坐标；
（2）求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程．

Answer

（1）先把C1的方程化为标准方程，根据椭圆的性质可知a，b的值，进而求得c的值．进而可得椭圆C1的中心和焦点坐标；同样把C2的方程化为标准方程，根据椭圆的性质可知a，b的值，进而求得c的值．而可得椭圆C1的中心和焦点坐标．
（2）把两个椭圆方程联立，可求得交点的坐标．设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A，B两点坐标代入联立方程，即可求得E和F，再利用圆与直线x-2y+11=0相切求得D，进而可得所求圆的方程．
【解析】
（1）把C1的方程化为标准方程，
得C1：．
可知椭圆C1的中心是原点，
焦点坐标分别是
把C2的方程化为标准方程，
得C2：=1∴a=6，b=2，c=4．
可知椭圆C2的中心坐标是（3，0），
点坐标分别
（2）解方程组
所以两椭圆C1，C2的交点坐标是A（3，2），B（3，-2）
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0、
因为A，B两点在圆上，所以有解得E=0，F=-3D-13
从而所求圆的方程为x2+y2+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程+Dx-3D-13=0即5x2+（22+4D）x-12D+69=0的判别式为0
就是D2+26D-56=0解得D=2，或D=-28
从而所求圆的方程是x2+y2+2x-19=0，或x2+y2-28x+71=0、