Question

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．
求证：（1）CD=CM=CN；
（2）CD²=AM•BN．

Answer

（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；
（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．
证明：（1）连接CA、CB，
则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°
∴CD2=AD•DB
由（1）知AM=AD，BN=BD
∴CD2=AM•BN．